• 人类第一次将33写成了3个整数的立方和

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    ¡¡¡¡公元2019年3月的一天£¬一位叫Tim Browning£¨与Timothy Browning是同一人£©的数学家在其个人主?#25104;?#26356;新了一个网页£¬网?#25104;?#30340;内容非常简单£¬没有任何多余的东西£º

    ¡¡¡¡33 = 8866128975287528 + (-8778405442862239) + (-2736111468807040)

    ¡¡¡¡上面的算式是将自然数33用整数的立方和表示了出来¡£但是£¬可能出乎你预料的是£¬这是人类第一次知道£¬世间还存在着这样一个等式£¬第一次¡ª¡ª我们第一次把33用这种方式写了出来£¡

    ¡¡¡¡为什?#27425;?#20204;对这样一个等式如此着迷£¬让我们一起看下去¡£

    ¡¡¡¡

    ¡¡¡¡建造房?#37038;?#30340;¡°堆垒数论¡±

    ¡¡¡¡我们知道我们茅草堆垒出来能建造茅屋¡¢砖石堆垒起来能建造砖房¡¢钢筋混凝土堆垒起来能建造高楼大厦¡£

    ¡¡¡¡现在许多高楼大厦?#38469;?#38050;筋混凝土建筑的£¬但是是不是所有的高楼大厦都可以由钢筋混凝土来建筑呢£¿

    ¡¡¡¡这其实就是¡°堆垒数论¡±的思想¡£我们用简单的语?#21592;?#36798;这个堆垒数论考虑的问题£¬如果考虑A¡¢B两个整数的子集¡£如果A中的数都能被B中的某几个数相加得到£¬我们?#36864;µA能被B堆垒出来¡£大多时候£¬我们还要限制使用B中数字个数的数量¡£这时候£¬所使用的B中的数叫做堆垒项¡£

    ¡¡¡¡举几个例子£º

    ¡¡¡¡如果A是所有不小于6的偶数集合£¬B是素数集合£¬并限制只能用2个B中的数¡£那?#27425;?#39064;就是著名的哥德巴赫猜想¡£

    ¡¡¡¡如果A?#20146;?#28982;数集合£¬B所有完全平方数集合£¬并限制只能用2个B中的数¡£自然数的能不能写成两个数平方和问题¡£

    ¡¡¡¡如果A?#20146;?#28982;数集合£¬B所有完全平方数集合£¬并限制只能用3个B中的数¡£自然数能不能写成三个数平方和问题¡£

    ¡¡¡¡以此类推……

    ¡¡¡¡有时候£¬我们还可以反过来研究£¬比如£¬如果所有自然数都能被B中的数加出来£¬那么多少个数之内一定能办到£¿

    ¡¡¡¡我们用233来举例?#24433;Ñ£?/p>

    ¡¡¡¡

    ¡¡¡¡下面这些正整数方程是否有解呢£º

    ¡¡¡¡233 = x + y

    ¡¡¡¡233 = x + y + z

    ¡¡¡¡233 = x + y + z + w

    ¡¡¡¡233 = x + y + z + u + v

    ¡¡¡¡以上方程中的所有未知数地位是一样的£¬我们把那种通过交换顺序能变得一样的解看成相同的解可以得到£¬为简单起见£¬不考虑退化情形£¬即令正整数解元素互不相同£¬相当于不考虑x+y+z=233退化为x+2y=233等类似的其它情形¡£

    ¡¡¡¡第一个方程£¬有一组解£º

    ¡¡¡¡233 = 8 + 13

    ¡¡¡¡第二个方程£¬有两组解£º

    ¡¡¡¡233 = 1 + 6 + 14

    ¡¡¡¡第三个方程£¬有三组解£º

    ¡¡¡¡233 = 2 + 6 + 7 +12

    ¡¡¡¡233 = 3 + 4 + 8 +12

    ¡¡¡¡233 = 4 + 6 + 9 +10

    ¡¡¡¡第四个方程£¬有一组解

    ¡¡¡¡233 = 2 + 4 + 7 +8 +10

    ¡¡¡¡在第三个方程的正整数解中£¬我们可以看出可以出现一样的元素12£»

    ¡¡¡¡关于第四个方程有一则小故事£¬根据迪克逊的¡¶数论史¡·(History of the Theory of Numbers)记载¡£1867年£¬史密斯(H. J. S. Smith)开始推广表为5个,7个平方数的结果¡£一位不为人知的委员会成员曾向巴黎科学?#33322;?#35758;举办1882年的数学科学大奖(grand prix des science mathématiques)赛题?#35838;ª¡?#34920;为5个平方数的方法数¡±¡£?#23548;?#19978;1881年春天就发布了公告悬赏这个问题£¬后?#24202;?#23558;其作为赛题¡£史密斯和闵可夫斯基(H. Minkowski)£¨值得注意的是£¬闵可夫斯基当时才18岁£©都获得了该大赛的全额奖金¡£他们俩都发展了n元二次型理论来求出表为5个平方数的方法数¡£

    ¡¡¡¡迷人的平方和

    ¡¡¡¡上面第一个方程为费马双平方和定理(Fermat's two-square theorem)的一个特例¡£费马还是¡°一如既往地¡±只写命题不给证明£¬这个命题也一样¡£这个命题最早被欧拉证明的¡£费马的这一命题即给出了所有4n+1型的素数都可以唯一地分解为两个平方数之和£¨至于如何求其唯一表示可以参?#27425;?#23572;弗曼的¡¶数论概论¡·第26章£©¡£那么其他数呢£¿

    ¡¡¡¡有下面一个定理£º

    ¡¡¡¡一个大于1的整数可以写成两个平方整数之和£¬当且仅当的它的标准素数分解中不包含4n+3型素数或者4n+3型素数是偶次¡£

    ¡¡¡¡比如637 = 7¡¤13有两个素因子7与13£¬而13是4n+1型£¬而7是4n+3型£¬但素数7的次数为偶数2£¬故637 可?#21592;?#31034;为两个平方数之和¡£?#23548;?#19978;£¬637 = 14+21¡£

    ¡¡¡¡关于平方£¬我们还有勒让德三平方和定理(Legendre's three-square theorem)£º

    ¡¡¡¡整数可以写成三个整数的平方和£¨即允许堆垒项为零£©£¬当且仅当的它不为4^a(8b+7)型的数¡££¨其中,4^a表示4的a次方£¬a与b都取自然数£©

    ¡¡¡¡值得注意的是这里用的是¡°三个整数的平方和¡±与双平方和情形的描述有所不同¡£

    ¡¡¡¡勒让德的这一定理可以?#27425;?#31561;价形式£º

    ¡¡¡¡整数可以写成少于四个平方数之和£¨默认平方数从1开始£©£¬当且仅当的它不为4^a(8b+7)型的数¡££¨其中,4^a表示4的a次方£¬a与b都取自然数£©

    ¡¡¡¡对于平方数且时£¬有拉格朗日四平方和定理(Lagrange's four-square theorem)

    ¡¡¡¡每一个自然数可以写成四个整数的平方和£¨即允许堆垒项为零£©¡£

    ¡¡¡¡我们不应该去纠结于当需要表示的数比较小时£¨比如取5¡¢6£¬堆垒项总有零出现£©£¬四个整数中会出现零¡£我们应该看到当需要表示的数为很大很大的整数时£¬都可以由四个平方数来表示£¬就像再厉害的野马£¨大整数£©都可?#21592;?#36825;位驯马师£¨拉格朗日四平方和定理£©驯服£¬这便就是此定理的重要意义¡£

    ¡¡¡¡华林问题

    ¡¡¡¡什么是华林问题呢£¿

    ¡¡¡¡1770年£¬英国当时的领袖数学?#19968;?#26519;(Waring)£¨别因为音译名将其当作华人£©在其¡¶代数?#20102;?#24405;¡·£¨Meditationes Algebraicae£©第二版中提到一句话£º

    ¡¡¡¡每一个正整数可以写成4个整数的平方和£¨即允许堆垒项为零£©£»可以写成9个正整数的立方和£¬可以写成19个整数的四次方和£¬如此等等¡£

    ¡¡¡¡当然这句话的一部分就是拉格朗日的定理£¬第二部分是华林通过大量数值试验得出的猜想£¬第三部分?#24425;?#20182;得出的猜想¡£

    ¡¡¡¡对于每一个给定的正整数k£¬存在一个最小的正整数g(k)£¬使得每一个自然数都可以写成不超过g(k)个整数的k次方和¡£

    ¡¡¡¡其中求g(k)的问题便是华林问题¡£经过上面关于平方数的介绍£¬我们知道了g(2) = 4¡£

    ¡¡¡¡1909年£¬德国数学家韦伊费列治(Wieferich)证明了g(3) = 9£»后发现漏洞£¬于1912年由生于英国的美国数学家肯普纳(Kempner)补正£»

    ¡¡¡¡1940年£¬印度数学?#31227;?#33713;(Pillai)证明了g(6) = 73£»

    ¡¡¡¡1964年£¬我国数学?#39029;?#26223;润证明了g(5) = 37£»

    ¡¡¡¡1986年£¬三位数学巴拉苏布拉玛尼安(Ramachandran Balasubramanian)¡¢德雷斯(F. Dress)和德西霍勒(Deshouillers)证明了g(4)=19£»

    ¡¡¡¡再回来£¬整数立方和还有42

    ¡¡¡¡好了£¬回到我?#20146;?#21021;的问题£º自然数的整数立方和表示¡£在k=3时的华林问题中£¬我们知道每一个正整数都可以为不超过9个正整数的立方和£»

    ¡¡¡¡如果将前面华林问题的堆垒项只允许用加法的条件放开£¬我们允许用减法£¬是什么情况呢£¿¡ª¡ª这个问题其实就是简易华林问题¡ª¡ª不要因为其命名为¡°简易华林问题?#26412;?#35273;得其比¡°华林问题¡±简单¡£

    ¡¡¡¡而将正整数表示成三个整数立方和的问题£¬就是堆垒项限制为3的简易问题¡£现在这个问题依然是没有解决的问题¡£

    ¡¡¡¡我们用v(k)表示满足相应条件最小的正整数£¬即对应于华林问题中的g(k).

    ¡¡¡¡1932年£¬V. Vesely证明了v(k)存在¡£

    ¡¡¡¡接着赖特(E. M. Wright)于1934年得到一个粗糙的估计?#28023;?#27492;估计不等式的证明可以参看陈景润写的¡¶初等数论¢ó¡·132页的内容£©

    ¡¡¡¡v(k)≤2^(k+1) + k!/2

    ¡¡¡¡不久£¬赖特又?#20113;?#25913;进£¬符号比较专业就不详述了¡£

    ¡¡¡¡再后来赖特还得到了v(k)≤2^(k+1) +4k£¬并研究了具体值¡£

    ¡¡¡¡1936年£¬莫德尔(Mordell)证明了除极少一部分数不能确定外£¬大部分整?#38469;?#21512;v(3) = 4.

    ¡¡¡¡我国数学家柯召曾列出一张表£¬将100?#38405;?#30340;数分解为4个立方数之和£¬表中几乎每一个数均可分解为x+y+2z的形式£¬仅有两个例外

    ¡¡¡¡76 = 10+7+4-11,

    ¡¡¡¡99 = 5+3-1

    ¡¡¡¡柯召教授这样做的目的或许是为了说明v(3)=4是正确的£¬但是这仅仅只能作为一些数值试验¡£

    ¡¡¡¡2003年£¬科学出版社出版了中文版的¡¶数论中未解决的问题£¨第二版£©¡·¡£其作者是为?#19988;Á£?916年9月30日~£©现在已经102岁高龄了¡£

    ¡¡¡¡在¡¶数论中未解决的问题£¨第二版£©¡·的第D章£¨该书编写了A~F章节£©的D5问题中£¬提到除了形如9n±4数?#26143;?#19981;知道结论£¬对于所有其他的数都证明了是4个整数的立方和¡£

    ¡¡¡¡了解同余的小伙伴们£¬可以做?#24405;?#31639;£¬任何整数的立方在mod 9 的情况下只有-1£¬0£¬1三种可能¡£所以 x + y+ z在mod 9 的情况下£¬只有0£¬±1£¬±2£¬±3这7种可能£¬而±4是不可能的¡£

    ¡¡¡¡所以形如9n±4数一定不能表示为三个整数的立方和¡£由此我们?#37096;?#20197;知道v(3)>3£¬也就是说所有自然数不能仅由三个整数的立方和表示¡£但是退而求其次£¬哪些数可以由三个立方数表示呢£¿数学家们希望有像¡°费马双平方和定理¡±¡¢¡°勒让德三平方和定理?#38381;?#26679;的定理来引导人们£¬但是目前为止还没有¡£

    ¡¡¡¡接下?#27425;?#20204;要步入主题了£¡

    ¡¡¡¡所有不为9n±4型的数?#38469;?#19977;个整数的立方和吗£¿?#19988;?#20070;中写道£º1992年£¬他对所有小于1000的数用计算机搜索后发现,除了下面£¨标红部分截止2019年3月都还没有被解决£©表中的数以外£¬对于其他小于1000的数都?#19994;?#20102;这样的表示¡£

    ¡¡¡¡

    ¡¡¡¡在1993年5月25日的一封电子邮件中£¬Andrew Bremner告诉?#19988;?#26377;£º

    ¡¡¡¡75 = 435203083+(-435203231)+4381159

    ¡¡¡¡Conn和Vaserstein发现了

    ¡¡¡¡84 = 41639611+(-41531726)+(-8241191)

    ¡¡¡¡后来人们?#19994;?#20102;£¨上表标黄部分£©

    ¡¡¡¡30=(-283059965)+(-2218888517)+2220422932

    ¡¡¡¡52=60702901317+23961292454+(-61922712865)

    ¡¡¡¡110=109938919+16540290030+(-16540291649)

    ¡¡¡¡195=(-2238006277)+(-5087472163)+5227922915

    ¡¡¡¡290=426417007+2070897315+(-2076906362)

    ¡¡¡¡435=4460467+(-4078175)+(-2755337)

    ¡¡¡¡444=3460795+14820289+(-14882930)

    ¡¡¡¡452=(-2267462975)+(-3041790413)+3414300774

    ¡¡¡¡462=1933609+(-1832411)+(-1024946)

    ¡¡¡¡478=(-1368722)+(-13434503)+13439237

    ¡¡¡¡2007年£¬Michael Beck, Eric Pine,Wayne Tarrant与Kim Yarbrough Jensen这四位数学家的论文指出小于1000的数还没有?#19994;?#35299;的剩下£º

    ¡¡¡¡33, 42, 74, 114, 156, 165, 318, 366, 390, 420, 543, 579, 609, 627, 633, 732, 758, 786, 789, 795, 903, 906 ,921, 948, 975

    ¡¡¡¡2016年£¬Sander G. Huisman指出小于1000的数还没有?#19994;?#35299;的就剩£º

    ¡¡¡¡33, 42, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975

    ¡¡¡¡最近£¬由Booker Andrew提交了一篇论文"Cracking the problem with 33"£¬论文中?#19994;?3这个文章开头的结果£¬由Browning公之于众¡£我们可以看到每个元素?#38469;?0的16次方的数?#32771;¶£?#35201;读出来应该快读到亿亿位了£¡

    ¡¡¡¡另外在数学节目Numberphile中£¬Timothy Browning做了一期名为¡°The Uncracked Problem with 33¡±的问题介绍£¬?#19978;?#30446;前没有中文字幕¡£可以从论文"Cracking the problem with 33"的摘要与论文标题看出Andrew Booker写这篇论文正是源于该视频¡£

    ¡¡¡¡也就是说到目前为止£¬100?#38405;?#30340;自然数就剩下42还没有?#19994;?#20851;于立方和的整数解了£¡

    ¡¡¡¡来源£º哆嗒数学网 编辑£º井上菌

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